Репьюниты и десятичные периоды -С. Ейтс → Обява 35423247

Репьюниты - это целые числа, десятичная запись которых состоит из одних единиц (1, 11, 111, ...). Делители этих чисел изучались Эйлером, Бернулли, Гауссом, Биркгофом и др. В настоящей книге, принадлежащей перу американского специалиста, в популярной форме изложены как классические результаты, так и новые открытия в теории репьюнитов, полученные с использованием компьютеров. Указаны приложения к исследованию периодов десятичных периодических дробей. Умело сочетая глубину и популярность изложения материала, автор сделал книгу доступной для первоначального чтения по теории чисел.

Для всех интересующихся теорией чисел и математикой.

Дроби и их десятичное представление.

Дробь есть отношение двух целых чисел, из которых первое является числителем, а второе - знаменателем дроби. У правильной дроби числитель и знаменатель положительны и числитель меньше знаменателя.

Дробь является несократимой, если числитель и знаменатель взаимно просты. Действительное число является рациональным, если оно может быть представлено в виде дроби, числитель которой - целое число, а знаменатель - не равное нулю целое. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем иметь дело с правильными несократимыми дробями.

Десятичное представление правильной дроби есть результат деления числителя на знаменатель, выражаемый десятичной занятой с расположенным за ней определенным рядом цифр. Если процесс деления достигает такого момента, когда в частном появляются одни нули, то говорят, что дробь, как и ее десятичное представление, конечна. Так, конечная десятичная дробь 0,2 есть десятичное представление дроби 1/5. На практике выражения десятичное представление и десятичная запятая используются часто независимо от основания системы, но некоторые авторы присваивают этим понятиям в определенных системах счисления более точные названия.

Простота числа не зависит от основания системы. Однако простое, которое делит это основание, особым образом воздействует на форму представления числа в этой системе. В десятичной системе это числа 2 и 5. Если знаменатель несократимой дроби не делится на другое простое число, то десятичное представление этой дроби конечно.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

От редактора и переводчика.

Предисловие к русскому изданию.

От переводчика.

Предисловие.

От автора.

Глава 1. Введение.

Символика.

Некоторые свойства делимости. Простота чисел.

Дроби и их десятичное представление.

Классы вычетов.

Функция Эйлера.

Замечания и комментарии.

Глава 2. Периодичность и длина периода.

Периодические десятичные дроби.

Теорема Ферма и правило множителя.

Периодичность.

Длина периода составного числа.

Длина периода степени простого числа.

Вычеты степени k.

О вычислении длины периода.

Длина периода в произвольной системе счисления.

Замечания и комментарии.

Глава 3. 9: 8: 7.

Гипотезы.

«Последняя теорема Ферма».

Гипотеза Артина.

Квадратичные вычеты.

Связь между индексом периода и длиной периода.

Гипотеза Кришнамурти.

9:8:7.

Замечания и комментарии.

Глава 4. Цифры периода.

Метод быстрого превращения десятичной дроби в обыкновенную в частном случае.

Комплементарность порядка n, r.

Майди-свойство.

Правила нахождения минимального числа блоков.

Таблица значений r(М, n).

Применение комплементарности.

Круговые перестановки.

Суммарные кратности.

Остатки в единичных группах.

Положение цифр в периоде.

Кратность периодов.

Задачи Крайчика о периодах.

Палиндромные пары среди периодов.

Расширенные периоды.

Арифметические операции с периодами.

Замечания и комментарии.

Глава 5. Примитивные решения.

Длинные последовательности составных чисел.

Примитивные решения Сn = 2 • 10n - 1 = 0 (mod х).

Условия делимости Сn.

Составные делители чисел Сn.

Длина периода простого числа вида Сn.

Замечания и комментарии.

Глава 6. Еще о функциях с примитивными решениями.

Первообразные корни.

аn - bn = 0 (mod х).

Примитивные корни из единицы.

Круговые многочлены.

Сомножители. Введение.

Алгебраические сомножители чисел Rn.

Разложение на множители чисел 10m + 1.

Анализ видов.

Виды примитивных сомножителей.

Общая характеристика чисел Рn.

Система Ейтса - Джернедла.

Правила для написания Рn в системе YG.

Упрощенное описание для частных случаев.

Система Роуза.

Правила для написания Рn.

Замечания и комментарии.

Глава 7. Теоретико-числовой подход к большим числам.

Большие числа в обычной практике.

Большие числа в теории чисел.

Делимость и простота.

Количество простых делителей.

Самые большие известные простые.

Составные числа с большими простыми делителями.

Метод Люка - Лемера для простых чисел Мерсенна.

Простое число, равное половине уменьшенного на единицу другого простого, как показатель двойки у простого числа Мерсенна.

Псевдопростые.

Полнопериодные псевдопростые.

Определение простоты числа с помощью множества С.

Исключение кратных 2 или 5.

Произведения чисел с одинаковой длиной периода.

Псевдопростые со взаимно связанными длинами периодов..

Разложение на множители.

Таблицы длин периодов и делителей репьюнитов.

Число простых с данной длиной периода.

Замечания и комментарии.

Глава 8. Попурри на тему "длины периодов простых чисел".

Возможные длины периодов.

Делимость и множители репьюнитов.

Остатки от деления на множители репьюнитов.

Применение.

Круговые перестановки образуют равные знаменатели.

Круговые перестановки, кратные простым числам.

Капрекаровские Харшад-числа.

H-числа для степеней числа 3.

Небольшие H-числа для простых чисел.

Длины периодов простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 10.

Простые числа, индексы периода которых равны 10.

О простых числах, которые на 1 больше удвоенного простого числа.

Простые числа вида Q = 2пр + 1 из множества С.

Замечания и комментарии.

Глава 9. Числа, кратные репьюнитам, степеням и долям репьюнитов.

Произведения репьюнитов.

Репьюниты, кратные произведениям репьюнитов.

(RqL (q)/RL (q)/q.

Репьюниты, кратные степеням репьюнитов.

Квадраты как примитивные делители репьюнитов.

Репьюниты-степени.

О псевдопростых репьюнитах.

Репьюниты, делящиеся на репьюниты.

Формулы, связывающие репьюниты с другими репьюнитами.

Репьюниты как часть в записи простого числа.

Репдиджиты как часть в записи простого числа.

Замечания и комментарии.

Глава 10. Упражнения с репьюнитами.

Ответы.

Приложение 1. Таблица примитивных простых делителей репьюнитов Rn = (10n - 1)/9, n < 1000.

Приложение 2. Таблица "Суммарные кратности".

Приложение 3. Таблица периодов десятичных дробей (с точностью до круговой перестановки) для знаменателей n - простых чисел и степеней простых, n < 200.

Приложение 4. Числа Смита и репьюниты.

Литература.

Предметный указатель.