Владимир Иванович Крылов родился 14 декабря 1902 года в селе Красный Яр Самарской губернии (ныне Куйбышевская обл.) в семье врачей. Среднее образование получил в Самаре. В 1923 г. поступил в Саратовский университет, а в 1926 г. перевелся в Ленинградский университет, физико-математический факультет, который окончил в 1928 г.
Научная и педагогическая деятельность В. И. Крылова началась в Ленинградском государственном университете, в котором он проработал до 1957 г. Владимир Иванович прошёл путь от ассистента до профессора, заведующего кафедрой. С 1945 г. на протяжении более 10 лет В. И. Крылов работал в Ленинградском Отделении Математического института АН СССР.
Основные научные направления Владимира Ивановича сформировались под влиянием научной школы В. И. Смирнова, одного из продолжателей традиций петербургской математической школы, для представителей которой было характерно умелое сочетание фундаментальных и прикладных исследований.
В 1956 г. В. И. Крылова избрали академиком АН БССР. С этого времени Владимир Иванович начал второй период научной и педагогической работы, который связал с Беларусью.
С 1957 года В. И. Крылов в течение 30 лет заведовал лабораторией, 15 лет был заместителем директора по научной работе Института математики АН БССР, а с ноября 1987 года стал советником при дирекции института.
С 1957 г. его педагогическая деятельность была связана с Белорусским государственным университетом. На созданной им в университете кафедре вычислительной математики многие ученики В. И. Крылова успешно защитили докторские и кандидатские диссертации.
В. И. Крылов стал одним из основоположников проведения широких исследований по вычислительной математике в Советском Союзе. В тридцатые годы он построил методы конформного отображения односвязных и многосвязных областей, которые в ряде практически важных случаев позволяют эффективно находить приближенную функцию, отображающую конформно одну заданную область комплексной плоскости на другую.
Важные результаты получены В. И. Крыловым совместно с его учениками по исследованию методов решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Для ряда краевых задач в случае обыкновенных дифференциальных уравнений был разработан усовершенствованный вариант метода прогонки. Для классических задач, связанных с уравнениями в частных производных, - методы понижения размерности с соответствующими априорными оценками погрешностей.
В Беларуси В. И. Крылов создал авторитетную школу. Она представляет практически все основные направления современной вычислительной математики.
В. И. Крылов - автор или соавтор более 100 научных работ, в том числе 24 книг: монографий, справочников, учебных пособий для высших учебных заведений и таблиц вспомогательных величин, которые используются при численном решении некоторых классов задач.
Следует отметить монографию «Приближенные методы высшего анализа», написанную в соавторстве с известным ученым Л. В. Канторовичем, который впоследствии стал лауреатом Нобелевской премии. Первое издание этой монографии вышло в 1936 г. Она переиздавалась пять раз в Беларуси и неоднократно издавалась за границей. Эта книга оказала большое влияние на развитие численных методов и стала одной из первых фундаментальных монографий в области приближенных методов.
В 1988 г. была напечатана книга В. И. Крылова «Математический анализ. Ускорение сходимости». Она написана на основе результатов, полученных В. И. Крыловым в этой области. Это была последняя научная работа Владимира Ивановича.
Кроме научной и педагогической деятельности Владимир Иванович выполнял большую научно-организационную работу. Он был членом бюро Отделения физико-математических наук АН БССР, возглавлял научный совет по проблеме «Вычислительная математика», входил в состав ученых советов по защите диссертаций и редколлегий математических журналов. Велика роль В. И. Крылова в создании в 60-х годах сети вычислительных центров в АН БССР, в БГУ и в ряде других учреждений.
Многолетняя плодотворная научная, научно-организаторская и педагогическая деятельность Владимира Ивановича Крылова получила высокую оценку и признание. В 1968 году ему присвоено звание «Заслуженный деятель науки БССР». В. И. Крылов награжден орденами Дружбы народов, Трудового Красного Знамени, Знак почета, медалями, Почетными грамотами Верховного Совета Беларуси.
Автор более 100 научных работ, в том числе 24 монографий, справочников и учебных пособий.