Мартингальная аппроксимация → Обява 46350991

Аннотация: На оснащённом фильтрацией вероятностном пространстве мартингальная аппроксимация оказывется естественным средством доказательства предельных теорем для некоторого класса случайных процессов (как адаптированных к упомянутой фильтрации, так и более общих). Наиболее прозрачно такая аппроксимация строится в случае стационарных марковских процессов с дискретным временем. Для применения этого подхода необходимо показать, что в пределе можно пренебречь "остатком", то есть разностью между суммами значений изучаемого процесса и аппрокимирующего мартингала.

В первых работах, касающихся стационарного случая, возможность пренебречь остатком выводилась из возможности представить его как разность последовательных значений вспомогательного стационарного процесса (такие процессы-разности мы именуем кограницами; терминология и дальнейшие подробности будут объяснены в докладе). Впоследствии выяснилось, что, например, область применимости центральной предельной теоремы существенно шире пределов, в которых имеет место такое представление остатка. Соответствующие доказательства обходили вопрос о явном описании структуры остатка, что делало их менее прозрачными, а иногда и ухудшало результаты.

В докладе для специального случая марковского процесса с нормальным (в смысле теории операторов в гильбертовом пространстве) переходным оператором будет показано, как подходящее обобщение понятия кограницы позволяет распространить мартингал-кограничное представление и основанное на нём доказательство центральной предельной теоремы на наиболее общую ситуацию, в которой этот результат известен в настоящее время. Будут сформулирован ряд остающихся открытыми вопросов.